三角函数和差化积公式有哪些

  和差化积公式是初中三角函数的重要公式之一,接下来给大家分享三角函数和差化积公式及推导过程,供参考。

  

  

和差化积公式

 

  sinA+sinB=2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

  sinA-sinB=2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

  cosA+cosB=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

  cosA-cosB=-2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]

  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)

  

三角函数和差化积口诀

 

  (1)正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦。

  (2)差化积需同名,变量置换要记清;假若函数不同名,互余角度换名称。

  

和差化积公式推导过程

 

  首先,我们知道sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB,sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB

  我们把两式相加就得到sin(A+B)+sin(A-B)=2sinA*cosB

  所以,sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

  同理,若把两式相减,就得到cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

  同样的,我们还知道cos(A+B)=cosA*cosB-sinA*sinB,cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB

  所以,把两式相加,我们就可以得到cos(A+B)+cos(A-B)=2cosA*cosB

  所以我们就得到,cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

  同理,两式相减我们就得到sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

  这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

  sinA*cosB=(sin(A+B)+sin(A-B))/2

  cosA*sinB=(sin(A+B)-sin(A-B))/2

  cosA*cosB=(cos(A+B)+cos(A-B))/2

  sinA*sinB=-(cos(A+B)-cos(A-B))/2

  有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

  我们把上述四个公式中的A+B设为A,A-B设为B,那么A=(A+B)/2,B=(A-B)/2

  把A,B分别用A,B表示就可以得到和差化积的四个公式:

  sinA+sinB=2sin((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

  sinA-sinB=2cos((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

  cosA+cosB=2cos((A+B)/2)*cos((A-B)/2)

  cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)*sin((A-B)/2)

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