余数三大定理

  余数三大定理有余数的加法定理:a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。余数的乘法定理:a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。同余定理:若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余。

  

  1.余数的加法定理

  a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。

  例:18,21除以5的余数分别是1和3,而18+21=39除以5的余数等于4,即是两个余数的和1+3.

  当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c所得的余数。

  2.余数的乘法定理

  a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。

  例:18,21除以5的余数分别是1和3,而18×21=378除以5的余数等于3,即是两个余数的积1×3.

  当余数的积比除数大时,所求的余数等于两个余数的积再除以c所得的余数。

  3.同余定理

  若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余。同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质我们可以得到一个非常重要的推论:若两个数a、b除以同一个数m,得到的余数相同,则a、b的差一定能被m整除。

  例:18,33除以5的余数都是3,则33-18=15一定能被5整除。

  论证:设除数为x,第一个商为m,余数为a,则第一个被除数为mx+a,设第二个商为n(n<m),余数为a,则第二个被除数为nx+a,两个被除数的差为:(m-n)x,(m+n)x是x的倍数,所以,两个被除数的差一定能被x整除。

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